5 нуляля
Рассказ штурмана Игрека начался знаменитым восклицанием "Бом-брам-фок!" и был так обильно сдобрен морскими словечками, что пришлось переводить его с морского на общедоступный. Как я с этим справился, судите сами.
Прошли годы. Много правителей сменилось на Бамбуковом острове. И вот появился нынешний - самый любознательный, но и самый нетерпеливый, по прозвищу Хочувсё-знатьскорейскорей.
День-деньской сидит он в своём дворце, построенном на самой вершине прямого угла, читает учёные книги, придумывает мудрёные задачи и сам же их решает. А верный его слуга с чудным таким именем Периметр три раза на дню обегает остров и докладывает правителю, что новенького.
Периметр - бегун на славу! Фигура его то и дело мелькает перед глазами бамбукян.
- Аи да Периметр! Что за Периметр! - слышится повсюду.
Жители так привыкли к этому имени, что незаметно для себя стали называть периметром не только бегуна, но и путь, который он проделывает вдоль берегов треугольного острова, то бишь сумму длин трёх его сторон, а там и сумму сторон всякого многоугольника: квадрата, ромба... Словом, любого.
Как уже было сказано, Периметр бегун хоть куда! Но нетерпеливому Хочувсёзнатьскорейскорей всё кажется, что он движется чересчур медленно. Он не раз пытался убедить его бегать быстрее, но из этого ничего не вышло. И тогда Хочувсёзнатьскорейскорей придумал вот что. Если нельзя сократить время пробега, стало быть, надо сократить путь.
- Да, да,- заявил он,- остров надо перестроить. Да так, чтобы периметр у него стал меньше. Но при этом владения мои не должны уменьшиться не то что на одну квадратную буку, но даже на минибуку! Посему объявляю всебамбуковый конкурс по реконструкции моего острова. И прошу также учесть, что треугольная форма мне надоела и не худо бы заменить её прямоугольной. Итак, думайте!
- Ну и что же,- спросил Пи, когда Игрек умолк,-додумались?
- Где там! - вздохнул штурман.- Всё ещё ищут подходящую длину сторон.
- Так вот почему они всё время рубят тростник! -догадался я и тут же закричал: - Идея! Немедленно включаемся во всебамбуковый конкурс! Предложение первое: стороны нового прямоугольного острова должны быть равны одному и двум бамбукам. При этом периметр прямоугольника получится 6 бамбуков ( 1 + 2 + 1 + 2 = 6 ), а это ровно вдвое меньше нынешнего периметра острова, который равен двенадцати бамбукам ( 3 + 4 + 5 = 12 ).
- Ура! - завопил кок.- Премия! Требуем премии!
- Ишь чего захотели! - ухмыльнулся Игрек.- Обойдётесь и без премии.
- Это почему же?
- Да потому, что вы не учли самого главного: после реконструкции площадь острова должна остаться неизменной.
- А чему она равна, площадь острова? - спросил я упавшим голосом.
- С того-то и надо было начинать! - укоризненно покачал головой штурман. - Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
- Ну, это ещё надо доказать,- возразил я.
- С нашим удовольствием, бом-брам-фок! - гаркнул штурман. - Возьмём два одинаковых прямоугольных треугольника...
- Вы хотите сказать - конгруэнтных,- важно перебил я.
- Ясное дело, конгруэнтных,- проворчал тот.- Итак, стало быть, возьмём два конгруэнтных прямоугольных треугольника и приложим друг к другу так, чтобы совпали их гипотенузы. Что получим?
- Прямоугольник, что же ещё? - сказал Пи.- А площадь прямоугольника будет равна произведению двух его сторон: 3 x 4 = 12. В таком случае, площадь каждого из двух треугольников равна половине от двенадцати, то есть шести. Что и требовалось доказать!

Но тут, к великому нашему огорчению, оказалось, что площадь предложенного мною прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна вовсе не шести, а всего-навсего двум квадратным бамбукам. Потому что 1 x 2 = 2. Стало быть, площадь не осталась неизменной, а уменьшилась в три раза.
- Что ж,- уныло вздохнул я,- придётся нам поискать другой прямоугольник. Такой, чтобы площадь его была конгруэнтна площади острова.
- Бом-брам-фок! - вскипел штурман.- Что он такое говорит, этот невежда? Какая может быть конгруэнтность у прямоугольника и треугольника? Равновеликость - дело другое. Но конгруэнтность - никогда!
Вот так история! Его послушать, так разные по форме фигуры конгруэнтными быть не могут, а равновеликими сколько угодно. Как же так?

Но Игрек объяснил, что, говоря о равновеликости, мы имеем в виду не формы фигур, а всего лишь величины их площадей. А величины эти могут быть одинаковыми и у разных, неконгруэнтных фигур...
После этого мы с Пи без труда нашли прямоугольник, равновеликий острову. И даже не один, а целых три: со сторонами 1 и 6; 1,5 и 4; 2 и 3. При этом площадь каждого равна шести квадратным бамбукам.
Оставалось выбрать самый выгодный из трёх, с наименьшим периметром. Стали проверять. У первого периметр оказался равен четырнадцати ( 1 + 1 + 6 + 6 ), у второго - одиннадцати ( 1,5 + 1,5 + 4 + 4 ), у третьего - десяти ( 2 + 2 + 3 + 3 ).
Ну, первый прямоугольник ни в какие ворота не лезет - его периметр больше, чем у острова. Зато у второго - поменьше, а у третьего ещё меньше двенадцати: всего лишь десять бамбуков.
На радостях мы сплясали, и Пи потребовал, чтобы Игрек немедленно отправил наше решение в конкурсную комиссию. Но тот только хмыкнул: а ну как найдётся равновеликий прямоугольник с ещё меньшим периметром?
- Не может быть! - вскипел я.
- А вот и может,- сказал штурман.- Да будет вам известно: из всех равновеликих прямоугольников . наименьший периметр у квадрата.
Мы было снова обрадовались, но оказалось, найти сторону этого квадрата - дело нелёгкое. Попробуйте-ка подобрать такое число, чтобы оно, умноженное само на себя, давало в ответе шесть!
Вот если бы площадь была равна, скажем, двадцати пяти, задача решалась бы просто. Тогда сторона квадрата должна быть равна пяти ( 5 x 5 = 25 ). А тут - голову сломаешь!
Вот бамбукяне её и ломают. Потому что нет на свете такой единицы длины, которой можно измерить нужную им сторону квадрата. Как говорят математики, сторона этого квадрата несоизмерима ни с какой единицей длины, иными словами - иррациональна. А бамбукяне об иррациональных числах понятия не имеют. И мы с коком тоже.
Так что пришлось нам от участия в конкурсе отказаться.
Но тут штурман предложил нам другую задачу: как лучше разрезать остров, чтобы превратить его в прямоугольник со сторонами в 2 и 3 бамбука, не уменьшив при этом его площади ни на одну минибуковку?
На сей раз нам повезло: как ни трудна была задача, мы её решили.
Прежде всего нарисовали прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 сантиметра (сантиметры как-никак удобнее бамбуков). Гипотенуза, само собой, оказалась равной пяти сантиметрам. Затем, не трогая катета, равного трём сантиметрам, отложили на другом катете 2 сантиметра от вершины прямого угла, то есть половину этого катета. Два эти отрезка (2 и 3) приняли за стороны прямоугольника и построили его так, как показано на рисунке.
Оказалось, что кусочек, который вышел при этом за треугольник, в точности конгруэнтен тому кусочку, который мы от этого треугольника отрезали (на рисунке оба эти кусочка заштрихованы).
Вот и всё. И волки сыты, и овцы целы. А почему заштрихованные кусочки конгруэнтны, это уж докажите сами.
Заодно поразмыслите и над тем, как разрезать треугольный остров, чтобы превратить его в прямоугольник со сторонами 1 и 6 бамбуков.
Засим, как говорит капитан, разрешите пожелать вам удачи и распроститься до завтра.